Question

5．如图，点M、N是线段AB的勾股分割点（勾股分割点定义：指M、N把线段AB分割成AM，MN，和BN．若以AM，MN，和BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点）．现若已知AM=3，MN=4，则BN=5或$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可．

解答 解：分两种情况：
①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$；                      
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{A{M}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
综上所述：BN的长为5或$\sqrt{7}$．
故答案为：5或$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．