Question

17．如图，已知二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0）．连接AB、AC．
（1）请直接写也二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表达式；
（2）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），连接AN．
①当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
②过点N作NM∥AC，交AB于点M，求△AMN面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），可以求得二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表达式；
（2）①根据题意可分为两种情况，一种情况是AN=CN，一种情况是CA=CN，然后根据已知可以分别求出两种情况下点N的坐标；
②由题意可以作MD⊥x轴于点D，然后根据三角形相似，可以求得相应的边的长度，从而可以求得△AMN面积的取值范围．

解答 解：（1）此二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表达式是y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4$；
理由：∵二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{64a+12+c=0}\end{array}\right.$
解得，a=$-\frac{1}{4}$，c=4，
即此二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表达式是y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4$；
（2）①N点的坐标为（3，0）或（$8-4\sqrt{5}，0$）；
理由：设点N的坐标为（n，0），
∵点A（0，4），点C坐标为（8，0），
∴OA=4，OC=8，
当AN=CN时，$\sqrt{{4}^{2}+{n}^{2}}=8-n$，得n=3，
当CA=CN时，$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}=8-n$，得n=8-$4\sqrt{5}$，
故点N的坐标为（3，0）或（8$-4\sqrt{5}，0$）；
②设点N的坐标为（n，0），过点M作MD⊥x轴于点D，如下图所示，

∵y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4$，
∴y=0时，得x₁=-2，x₂=8，
即点B的坐标为（-2，0），
则BN=n+2，
∵MD⊥x轴，AO⊥x轴，
∴△BMD∽△BAO，
∴$\frac{BM}{BA}=\frac{MD}{AO}$，
∵MN∥AC
∴$\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}$，
∴$\frac{MD}{AO}=\frac{BN}{BC}$，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2，
∴MD=$\frac{2}{5}（n+2）$，
∴S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN=$\frac{1}{2}×4×（n+2）-\frac{1}{2}×\frac{2}{5}（n+2）（n+2）$=$-\frac{1}{5}{n}^{2}+\frac{6}{5}n+\frac{16}{5}$=$-\frac{1}{5}（n-3）^{2}+5$，
∴当n=3时，S_△AMN取得最大值5，
即△AMN面积的取值范围是0＜S_△AMN≤5．

点评 本题考查二次函数综合题、求抛物线的解析式、等腰三角形的性质、三角形的相似、分类讨论的数学思想、求二次函数的最值，解题的关键时明确题意，能根据抛物线上的点求出抛物线的解析式、会利用分类讨论的数学思想解答问题、能根据三角形的相似解答相关问题，能将二次函数化为顶点式，求二次函数的最值．