题目内容
12．已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连结AD、BD、BE．（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形．△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB
（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2-2ax-3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．
①写出A的坐标（3，0），顶点B的坐标（用a的代数式表示）（1，-4a）．
②求抛物线的解析式．
③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P作PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
分析 （1）由圆周角定理知：∠ADB=90°，首先可联想到的相似三角形是△BCD和△DOA；易知∠BAD=∠BED，可得的另一对相似三角形是Rt△ABD和Rt△EBC；
（2）①令y=0，求出A点坐标，用公式法或配方法均能求出顶点B的坐标；
②根据抛物线的解析式，易求得B、D、A的坐标，也就得到了OA、OD、CD、BC的长，根据（1）得出的相似三角形，即可根据对应的成比例线段求出a的值，也就能求出抛物线的解析式；
③由②易知△OAD是等腰Rt△，若△PAN与△OAD相似，则△PAN也必须是等腰Rt△；可根据抛物线的解析式设出P点坐标，然后根据PN=AN的条件来求出P点的坐标．（注意P点横坐标的取值范围）
解答 
解：（1）如图1，∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB+∠ADO=90°，
∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠CDB，
∵∠C=∠O=90°，
∴△OAD∽△CDB，
∵∠BAD=∠BED，
∠C=∠ADB，
∴△ADB∽△ECB；
故答案为：△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；
（2）①A点坐标（3，0），B点坐标（1，-4a）
故答案为：（3，0），（1，-4a）；
②∵△OAD∽△CDB
∴$\frac{DC}{OA}$=$\frac{CB}{OD}$，
∵ax2-2ax-3a=0，可得A（3，0），
又∵OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1，
∴$\frac{1}{-3a}$=$\frac{-a}{3}$，
∴a2=1，
∵a＜0，
∴a=-1；
故抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
③存在，
设P（x，-x2+2x+3），
如图2，∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形，
∴PN=AN，
当x＜0（x＜-1）时，-x+3=-（-x2+2x+3），
解得：x1=-2，x2=3（舍去），
∴P（-2，-5），
当x＞0（x＞3）时，x-3=-（-x2+2x+3），
解得：x1=0，x2=3；（都不合题意舍去）
符合条件的点P为：（-2，-5）．
点评 此题考查了直角梯形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，难度较大，正确利用数形结合、分类讨论分析是解题关键．
如图，两条宽为1的带子，相交成α角，那么重叠部分的面积即阴影部分的面积为（ ）| A． | sinα | B． | $\frac{1}{sinα}$ | C． | $\frac{1}{si{n}^{2}α}$ | D． | $\frac{1}{cosα}$ |
已知一次函数图象如图，则它的表达式为y=2x-2．
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是（ ）| A． | 0＜AD＜3 | B． | 1≤AD＜$\frac{5}{2}$ | C． | $\frac{15}{7}$≤AD＜$\frac{5}{2}$ | D． | $\frac{15}{8}$≤AD＜$\frac{5}{2}$ |
梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，DA为半径的圆经过B、C、D三点，若AD=10，BC=16，求梯形ABCD的面积．
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠COB，