Question

18．如图，直线y=x-1和抛物线y=x²+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求不等式x²+bx+c＜x-1的解集（直接写出答案）．
（3）抛物线分别与x轴，y轴交于点C，D，在抛物线对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，请你求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）直接将A，B两点代入函数解析式求出答案；
（2）直接利用两函数图象结合其交点得出x的取值范围；
（3）结合利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置，再利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）将A（1，0），B（3，2），代入y=x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9+3b+c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=2}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为：y=x²-3x+2；

（2）∵直线y=x-1和抛物线y=x²+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2），
∴不等式x²+bx+c＜x-1的解集为：1＜x＜3；

（3）由题意可得：点P在AB上时，此时PB+PC=AB最小，
过点B作BE⊥x轴于点E，
可得BE=2，AE=3-1=2，
则AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了二次函数与不等式一级利用轴对称求最短路径，正确得出P点位置是解题关键．