Question

5．已知关于x的方程x²-（2k+1）x+4k-2=0
（1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=（2k-3）²≥0，由此可得出：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）当a为底时，由根的判别式△=（2k-3）²=0可求出k值，再根据根与系数的关系可得出b+c=4，由b+c=a可知此种情况不符合题意；当a为腰时，将x=4代入原方程求出k值，再根据根与系数的关系可得出b+c=6，套用三角形的周长公式即可求出结论．

解答 （1）证明：∵在方程x²-（2k+1）x+4k-2=0中，
△=[-（2k+1）]²-4（4k-2）=4k²-12k+9=（2k-3）²≥0，
∴不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；

（2）解：当a为底边时，b=c，
∴△=（2k-3）²=0，解得：k=$\frac{3}{2}$，
∴b+c=2k+1=4=a，
∴此种情况不合适；
当a为腰时，将x=4代入原方程得：16-4（2k+1）+4k-2=0，
解得：k=$\frac{5}{2}$．
∴b+c=2k+1=6，
∴△ABC的周长=a+b+c=4+6=10．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、根的判别式、根与系数的关系以及三角形三边关系，解题的关键是：（1）找出根的判别式△=（2k-3）²≥0；（2）分a为底或腰两种情况考虑．