Question

如图所示，已知m、n是方程的两个实数根，且m<n，抛物线的图像经过点A(m，0)、B(0，n)．
 
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；
（注：抛物线的顶点坐标为
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比
为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

Answer 1

（1）；（2）C（－5，0），D（－2，9），15；（3）或

解析试题分析：（1）先解方程得，即可得到点A、B的坐标，再将A、B的坐标分别代入，即可得到结果；
（2）由，令y＝0，即可求得C点的坐标，再由顶点坐标公式计算得点D的坐标，过D作x轴的垂线交x轴于M，则，，，
所以；
（3）设P点的坐标为（a，0），由线段BC过B、C两点即可求得BC所在的直线方程，从而得到PH与直线BC的交点坐标，表示出PH与抛物线的交点坐标，再分①，②两种情况即可求得结果.
（1）解方程，得 
由m<n，有m＝1，n＝5 所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．
将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入．
得解这个方程组，得
所以抛物线的解析式为；
（2）由，令y＝0，得  
解这个方程，得
所以C点的坐标为（－5，0）．
由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M
    
则
， 
所以，. 
（3）设P点的坐标为（a，0）
因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y＝x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a，a+5)， 
PH与抛物线的交点坐标为 
由题意得①，即
解这个方程，得或（舍去）
②，即
解这个方程，得或（舍去），
∴P点的坐标为或.
考点：二次函数的综合题
点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，主要考查学生对二次函数的性质的熟练掌握情况.