Question

14．已知二次函数y=mx²-5mx+1（m为常数，m＞0），设该函数的图象与y轴交于点A，该图象上的一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．
（1）求点A，B的坐标；
（2）点O为坐标原点，点M为该函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时，△MAO的周长最小．

Answer 1

分析 （1）令x=0可求得y=1，可求得A点坐标，再利用对称性可求得B点坐标；
（2）可先求得直线OB解析式，当点M运动到直线OB与二次函数对称轴的交点时，满足条件，可求得M点的坐标．

解答 解：∵
（1）当x=0时，y=1，则点A的坐标为（0，1），
∵抛物线对称轴为x=$\frac{5m}{2m}$=$\frac{5}{2}$，
∴B点坐标为（5，1）；
（2）设直线OB解析式为y=kx，把B（5，1）代入可得5k=1，解得k=$\frac{1}{5}$，
∴直线OB解析式为y=$\frac{1}{5}$x，
由轴对称的性质可知当点M运动到直线OB与二次函数对称轴的交点时，△MAO的周长最小．
当x=$\frac{5}{2}$时，y=$\frac{1}{2}$，
∴M点的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查二次函数的性质及轴对称的性质，利用轴对称的性质确定出M点的位置是解题的关键．