Question

19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC和BD相交于E，且AC平分∠BAD，求证：BC²=AC•CE．

Answer 1

分析 根据已知条件及相似三角形的判定方法结合图形和圆周角定理即可证明△ABC∽△BCE，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，
∴∠DAC=∠CDE，∠BDC=∠DBC，
∴∠DBC=∠BAC，
∵∠DCE=∠ACD，∠ACB=∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CE}{BC}$，
∴BC²=AC•CE．

点评 本题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．