Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）作△ABC的角平分线AD；（尺规作图，保留痕迹）
（2）在AD的延长线上任取一点E，连接BE、CE．
①求证：△BDE≌△CDE；
②当AE=2AD时，四边形ABEC是什么图形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的作法，可得答案；
（2）①根据等腰三角形的“三线合一”可得BD=CD、∠BDE=∠CDE=90°，利用“SAS”即可判定△BDE≌△CDE；②根据菱形的判定：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得答案．

解答 解：（1）如图，线段AD即为所求；


（2）①∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，AD⊥BC．
∴∠BDE=∠CDE=90°．
在△BDE和△CDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△CDE（SAS）．
②∵AE=2AD，
∴AE=DE．
∵BD=CD，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∵AD⊥BC，
∴平行四边形ABEC是菱形．

点评 本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及菱形的判定，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”及全等三角形和菱形的判定是解题的关键．