Question

【题目】如图，在正方形中，对角线相交于点，以为边向外作等边，连接交于若点为的延长线上一点，连接，连接且平分，下列选项正确的有(　　)

①；②；③；④

A.个B.个C.个D.个

Answer 1

【答案】C

【解析】

①连结OE，根据正方形性质和等边三角形性质可证：OE垂直平分AD，进而可证：△CDF∽△EOF，由相似三角形性质即可求得DF；

②由，又由两条平行之间的距离处处相等得，即可得，利用三角形面积公式计算即可得出结果；

③过点F作PQ⊥CD分别交CD、AB于点P、Q，在MA上截取MT=MC，连接FT、CT，求得相关的线段长，可证：△MCF≌△MTF（SAS），Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL），求出BT的长，利用特殊角的三角函数值和等边三角形的判定与性质即可求得；

④根据解直角三角形和线段的加减运算分别求出的长，整理即可得出这三条线段之间的数量关系，即可做出判断．

解：如图1，连结OE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD=AB=BC，∠ADC=∠DAB=90°，OD=OB，OC=OA，BD=AC，

∴OD=OB=OC=OA，

∵△ADE是等边三角形，，

∴，∠ADE=60°，

∴，

∴，

则，

∵AE=DE，OD=OA，

∴OE垂直平分AD，即OE⊥AD，DH=AH，

∴，

，

∴，

∵∠ADC=∠DHE=90°，

∴CD∥OE，

∴△CDF∽△EOF，

∴，则，即，

∵，则，

∴，解得：，故①正确；

∵，

又∵CD∥OE，

∴，

∴

，

故②正确；

如图2，过点F作PQ⊥CD分别交CD、AB于点P、Q，在MA上截取MT=MC，连接FT、CT，则为等腰三角形，

在中，，

∴为等腰直角三角形，，

由得：，则为等腰直角三角形，

∵，

∴，，

则，

∴，则，

，

∵FM平分∠AMC，

∴∠CMF=∠AMF，

在△MCF和△MTF中，

，

∴△MCF≌△MTF（SAS），

∴CF=FT，

在Rt△CFP和Rt△FTQ中，

∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL），

∴，

∴，则，

∴，

在中，，

∴，则为等边三角形，

∴，故③正确；

∵，

∴，则，

∴，

，

在中，，

∴，

∵

∴，故④错误；

∴正确的选项有3个，

故选：C．