Question

【题目】如图所示，四边形内接于⊙，是⊙的直径,过点的切线与的延长线相交于点．且，连接.

（1）求证：；

（2）过点作，垂足为，当时，求⊙的半径；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）半径；（3）

【解析】

（1）作DF⊥BC于F，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠DBC＝∠DCB，得到DB＝DC；

（2）根据垂径定理求出FC，证明△DEC≌△CFD，根据全等三角形的性质得到DE＝FC＝，根据tan∠DAE＝＝，求得∠DAE＝60°，从而可证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径OD＝AD＝2．

（3）根据△AOD是等边三角形得∠AOD＝60°，再根据阴影部分的面积＝扇形AOD的面积﹣△AOD的面积计算即可．

（1）证明：是⊙的切线，

，即，

是⊙的直径，

，即，

，

，

，

；

（2）解：如图，作于，连接

是的垂直平分线，

经过点

在和中，

在△AED中，DE＝，AE＝1，

则tan∠DAE＝＝，

∴∠DAE＝60°．

又∵OD＝OA，

∴△AOD是等边三角形，

∴⊙O的半径OD＝AD＝2．

（3）解：∵△AOD是等边三角形，

∴∠AOD＝60°．

∴