Question

【题目】综合与实践：

动手操作：如图1，四边形是一张矩形纸片，，点分别在边上，且，连接，将分别沿折叠，点分别落在点处．

探究展示：（1）“刻苦小组”发现：，且，并展示了如下的证明过程．

证明：在矩形中，，，

又∵，

∴，

∴，，

∵，

∴（依据1）

∴，

∴（依据2）

反思交流：①上述证明过程中的“依据1”与“依据2”分别指什么？

②“勤奋小组”认为：还可以通过证明四边形是平行四边形获证，请你根据“勤奋小组”的证明思路写出证明过程．

猜想证明：（2）如图2，折叠过程中，当点在直线的同侧时，延长交于点，延长交于点中，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由．

联想拓广：（3）如图3，连接，

①当时，的长为_____________________；

②的长有最小值吗？若有，请你直接写出的最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；②详见解析；（2）四边形是矩形，详见解析；（3）①，②的长有最小值，最小值为2，理由见详解．

【解析】

（1）①填写相应的平行线的性质及判定定理即可；

②利用一组对边平行且相等证得四边形是平行四边形即可；

（2）延长，交于点，由对折可知，，进而可证得，同理，，再由（1）得，几何折叠性质可得，利用等角的余角相等可得，进一步得到，最终证得，最后利用有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形；

（3）①延长交BC于点H，反向延长交AD于点K，可证得BH=BC=4，进而求得，从而可求得，最后设AE=E=x，在Rt△中，利用勾股定理求得x的值即可；

②连接BD交于点O，通过证四边形为平行四边形可得OB=OD=5，，当点、与点B、D共线时，的长可取得最小值，由此可得结果．

解：（1）①“依据1”指两直线平行，内错角相等；

“依据2”指同位角相等，两直线平行；

②证明：在矩形中，，

又∵，

∴，即，

∴四边形是平行四边形，

∴，且；

（2）四边形是矩形，

证明：延长，交于点，如下图，

由对折可知，，

∵，

∴，

同理，，

由（1）得，，

∴，

由对折可知，，

∴，

在中，，

在矩形中，，即，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是矩形；

（3）①如图，延长交BC于点H，反向延长交AD于点K，

∵，AB∥CD，AD∥BC，∠A=∠C=90°，

∴四边形ABHK和CDKH均为矩形，

∴AK=BH，KD=CH，KH=AB=6，

∵，，，

∴

∴KD=BH，

∴AK=KD=BH =AD=4，

在Rt中，

∴，

设AE=E=x，则EK=4-x，

在Rt中，，

∴，

解得，

∴AE=；

②如图，连接BD交于点O，

由（2）得四边形是矩形，

∴∥，

又∵，

∴四边形为平行四边形，

∴OB=OD，，

∵在Rt△ABD中，BD=，

∴OB=OD=5，

又∵6，

∴当点、B、O不共线时＞，

即＞6-5，＞1，

当点、B、O共线时，=，

即=6-5，=1，

∴取得最小值，最小值为1，

又∵，

∴取得最小值，最小值为2．