Question

13．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（-6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）直接写出线段BO的长：
（2）求点D的坐标；
（3）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使咀M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠BAD=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BC=8，由勾股定理即可得出答案；
（2）由折叠的性质得：BE=AB=6，∠BED=∠BAD=90°，DE=AD，求出OE=BO-BE=4，∠OED=90°，设D（0，a），则OD=a，DE=AD=OA-OD=8-a，在Rt△EOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）①当OM、OE都为菱形的边时，OM=OE=4，得出M的坐标为（4，0）或（-4，0）；
②当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，则OG=$\frac{1}{2}$OE=2，由三角函数求出OM即可；
③当OM为菱形的对角线，OE为边时，同②得：M（-$\frac{24}{5}$，0）；即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是（-6，8）．
∴∠BAD=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BC=8，
∴BO=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10；

（2）由折叠的性质得：BE=AB=6，∠BED=∠BAD=90°，DE=AD，
∴OE=BO-BE=10-6=4，∠OED=90°，
设D（0，a），则OD=a，DE=AD=OA-OD=8-a，
在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE²+OE²=OD²，
即（8-a）²+4²=a²，解得：a=5，
∴D（0，5）；

（3）存在，点M的坐标为（4，0）或（-4，0）或（-$\frac{10}{3}$，0）或（-$\frac{24}{5}$，0）；理由如下：
①当OM、OE都为菱形的边时，OM=OE=4，
∴M的坐标为（4，0）或（-4，0）；
②当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1所示：
则OG=$\frac{1}{2}$OE=2，
则cos∠MOG=cos∠BOC，
∴$\frac{OG}{OM}=\frac{OC}{OB}$，即$\frac{2}{OM}=\frac{6}{10}$，
解得：OM=$\frac{10}{3}$，
∴M（-$\frac{10}{3}$，0）；
③当OM为菱形的对角线，OE为边时，如图2所示：
同②得：M（-$\frac{24}{5}$，0）；
综上所述，在x轴上存在点M，使以M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为（4，0）或（-4，0）或（-$\frac{10}{3}$，0）或（-$\frac{24}{5}$，0）．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，坐标与图形性质，三角函数，菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．