Question

如图，△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF
（1）若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．
（2）求证：BE²+CF²=EF²．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）首先连接AD，由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC即∠CDF+∠ADF=90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF，从而可证：△AED≌△CFD，所以可得：AE=CF，AF=BC，；根据勾股定理求出EF，解直角三角形求出DE和DF，根据三角形面积公式求出即可．
（2）首先连接AD，由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC即∠CDF+∠ADF=90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF，从而可证：△AED≌△CFD，所以可得：AE=CF，AF=BC，即可得出答案．

解答：（1）解：连接AD，
∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED与△CFD中，

∠EDA=∠CDF AD=CD ∠EAD=∠C

，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE=CF，
同理△AED≌△CFD，
∴AF=BE．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=DE²+DF²，
∴BE²+CF²=EF²；
∵BE=12，CF=5，
∵EF=13，
∵△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°．
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴在Rt△EDF中，由勾股定理得：ED²+DF²=13²，
DE=DF=

13 2

2

，
∴△DEF的面积S=

1

2

×DE×DF=

1

2

×

13 2

2

×

13 2

2

=

169

4

；

（2）证明：连接AD，
∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED与△CFD中，

∠EDA=∠CDF AD=CD ∠EAD=∠C

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，
同理△AED≌△CFD，
∴AF=BE．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=DE²+DF²，
∴BE²+CF²=EF²．

点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．