Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AP′⊥AB，BP′交AC于点P，AP=AP′．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）过点P′作P′E⊥AC于点E，求证：AE=CP．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形底角相等和∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°即可解题．
（2）过点P作PD⊥AB于D，可证△APD≌△P′AE，可得AE=CP．

解答：解：（1）∵AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）如图，过点P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，

∠PAD=∠AP′E ∠ADP=∠P′EA=90° AP=AP′

，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中构建△APD并求证△APD≌△P′AE是解题的关键．