Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2$\sqrt{3}$，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是$\frac{15\sqrt{3}}{4}$-$\frac{3}{2}$π．

Answer 1

分析 连接连接OD、CD，根据S_阴=S_△ABC-S_△ACD-（S_扇形OCD-S_△OCD）计算即可解决问题．

解答 解：如图，连接OD、CD．
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ACD=90°-∠A=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵BC是切线．
∴∠ACB=90°，∵BC=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4$\sqrt{3}$，AC=6，
∴S_阴=S_△ABC-S_△ACD-（S_扇形OCD-S_△OCD）
=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$-（$\frac{60π×{3}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²）
=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$-$\frac{3}{2}$π．
故答案为：$\frac{15\sqrt{3}}{4}$-$\frac{3}{2}$π．

点评 本题考查扇形面积公式、直角三角形30度角性质、等边三角形性质等知识，解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．