Question

14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥DA，过AC的中点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．
（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；
（2）求证：∠MAE=∠NCF．

Answer 1

分析 （1）图中的全等三角形有△ABC≌△CDA，△AOE≌△COF，△AME≌△CNF，△AOM≌△CON，根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
（2）利用（1）中结论即可证明．

解答 （1）解：图中的全等三角形有△ABC≌△CDA，△AOE≌△COF，△AME≌△CNF，△AOM≌△CON，
理由：∵AB∥CD，BC∥DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，
在△ABC和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AC=CA}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∵AB∥CD，
∴∠OAM=∠OCN，
在△OAM和△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠OCN}\\{∠AOM=∠CON}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△OCN，
∴AM=CN，OM=ON，
∵OE=OF，
∴EM=NF，
在△AME和△CNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=CN}\\{AE=CF}\\{EM=FN}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△CNF．

（2）证明：由（1）可知△AME≌△CNF，
∴∠MAE=∠NCF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，注意不能漏解，属于中考常考题型．