Question

2．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交A（-1，0）B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AC的函数表达式；
（3）若点M是线段AC上的点（不与A，C重合），过M作MF∥y轴交抛物线于F，交x轴于点H，设点M的横坐标为m，连接FA，FC，是否存在m，使△AFC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B坐标代入抛物线解析式可求得b、c的值，可求得抛物线解析式；
（2）由C点横坐标可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；
（3）用m可出M的坐标，则可表示出F的坐标，从而可表示出MF的长，表示出△AFC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时的m．

解答 解：
（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=x²+bx-c，可得$\left\{\begin{array}{l}{0=1+b-c}\\{0=9+3b-c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）把x=2代入抛物线解析式可得y=2²-2×2-3=-3，
∴C（2，-3），
设直线AC的解析式为y=kx+s，把A、C坐标代入可得，$\left\{\begin{array}{l}{0=k+s}\\{-3=2k+s}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{s=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=-x-1；
（3）存在m，使△AFC的面积最大．
理由如下：
∵点M在直线AC上，
∴M（m，-m-1），
∵点F在抛物线上，
∴F（m，m²-2m-3），
∵点M是线段AC上的点，
∴MF=（-m-1）-（m²-2m-3）=-m²+m+2，
∵A（-1，0），C（2，-3），
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$MF•[2-（-1）]=$\frac{3}{2}$MF=$\frac{3}{2}$（-m²+m+2）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当m=$\frac{1}{2}$时，△AFC的面积最大，最大为值为$\frac{27}{8}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中求得C点坐标是解题的关键，在（3）中用m表示出△ACF的面积是解题的关键．本题考查知识点相对较少，综合性较强，难度适中．