Question

15．如图所示，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过（-1，0）和（0，-1）两点，则化简代数式$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}+4}$+$\sqrt{（a+\frac{1}{a}）^{2}-4}$=$\frac{2}{a}$．

Answer 1

分析 由二次函数y=ax²+bx+c的图象过（-1，0）和（0，-1）两点，求c的值及a、b的关系式，根据对称轴的位置判断a的取值范围，再把二次根式化简求值．

解答 解：把（-1，0）和（0，-1）两点代入y=ax²+bx+c中，得
a-b+c=0，c=-1，
∴b=a+c=a-1，
由图象可知，抛物线对称轴x=-$\frac{a-1}{2a}$＞0，且a＞0，
∴a-1＜0，0＜a＜1，
$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}+4}$+$\sqrt{（a+\frac{1}{a}）^{2}-4}$
=$\sqrt{（a+\frac{1}{a}）^{2}}$+$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}}$
=|a+$\frac{1}{a}$|+|a-$\frac{1}{a}$|，
=a+$\frac{1}{a}$-a+$\frac{1}{a}$，
=$\frac{2}{a}$．
故答案为：$\frac{2}{a}$．

点评 本题考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系，对称轴的性质，根据对称轴的位置确定a的取值范围的解题的关键．