Question

已知等边三角形ABC中，D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F点．
（1）求证：BF=

1

3

BC；
（2）求证：EF=

1

4

AF．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）作DG∥BC交AF于点G，证明△DGE≌△BFE，可以证明DG=BF，然后证明DG是△AFC的中位线即可证得；
（2）根据（1）的证明即可证得．

解答：证明：（1）作DG∥BC交AF于点G．
∵DG∥BC，
∴△DGE∽△BFE，
又∵E是BD的中点，
∴

DG

BF

=

DE

BE

=1，即△DGE≌△BFE，则DG=BF，
∵DG∥BC，D是AC的中点，
∴DG是△ACF的中位线，
∴DG=

1

2

CF，
∴BF=

1

2

CF，即BF=

1

3

BC；
（2）∵△DGE≌△BFE，
∴EF=GE=

1

2

FG，
∵DG是△ACF的中位线，即G是AF的中点，则FG=

1

2

AF，
∴EF=

1

4

AF．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键．