Question

19．已知在△ABC中，AB=AC，∠D=∠BAC．
（1）求证：DA=DC；
（2）求证：DC²-AC²=DB•DC．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角以及三角形的外角的性质证明∠DAC=∠C，即可证得；
（2）证明△DAC∽△ABC，利用相似三角形的对应边的比相等证得．

解答 证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又∵∠ABC=∠D+∠DAB，
又∵∠D=∠BAC，
∴∠D+∠DAB=∠BAC+∠DAB=∠DAC，
∴∠DAC=∠C，
∴DA=DC；
（2）∵∠DAC=∠C，∠C=ABC，
∴△DAC∽△ABC，
∴$\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC}$，
∴AC²=DC•BC=DC（DC-DB），即AC²=DC²-DB•DC，
∴DC²-AC²=DB•DC．

点评 本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角以及相似三角形的判定与性质，证明∠DAC=∠C是关键．