Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，点D、E在BC上，且AB=BD=DE=EC．求证：
（1）△ADE∽△CDA；
（2）∠1+∠2+∠3=90°．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）先根据AD=

2

AB，得出

AD

CD

=

DE

AD

=

2

2

，再根据∠ADE=∠ADC即可得出△ADE∽△CDA；
（2）根据△ADE∽△CDA得出∠3=∠EAD，根据∠EAD+∠2=45°，得出∠3+∠2=45°，即可得出答案．

解答：解：（1）∵∠B=90°，AB=BD，
∴AD=

2

AB，
∴

AD

CD

=

2

2

，

DE

AD

=

2

2

，
∴

AD

CD

=

DE

AD

，
∵∠ADE=∠ADC
∴△ADE∽△CDA；
（2）∵△ADE∽△CDA，
∴∠3=∠EAD，
∵∠EAD+∠2=45°，
∴∠3+∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=45°+45°=90°．

点评：本题考查了相似三角形的判定，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，关键是能在较复杂图形中找出相似三角形．