Question

已知二次函数y=kx²-（k+3）x+3在x=0和x=4时的函数值相等．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出当y＜0时，自变量x的取值范围；
（3）已知关于x的一元二次方程k²x²-

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mx+m²-m=0，当-1≤m≤3时，判断此方程根的情况．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的图象,待定系数法求二次函数解析式

专题：计算题

分析：（1）利用x=0和x=4时的函数值相等得到16k-4（k+3）+3=3，解得k=1，于是得到二次函数解析式为y=x²-4x+3；
（2）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（2，-1），再确定抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0），然后利用描点法画出抛物线，通过图象得到当1＜x＜3时，y＜0；
（3）k=1时，方程化为x²-

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mx+m²-m=0，再计算△=-（m-2）²+4，讨论：当-1≤m＜0时，△＜0；当m=0时，△=0；当0＜m≤3时，△＞0，然后根据判别式的意义判断根的情况．

解答：解：（1）∵x=0和x=4时的函数值相等，
∴16k-4（k+3）+3=3，
∴k=1，
∴二次函数解析式为y=x²-4x+3；
（2）y=x²-4x+3=（x-2）²-1，则抛物线的顶点坐标为（2，-1），
当y=0时，x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，则抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0），
如图，当1＜x＜3时，y＜0；
（3）k=1时，方程化为x²-

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mx+m²-m=0，
△=（-

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m）²-4（m²-m）=-m²+4m=-（m-2）²+4，
当-1≤m＜0时，△＜0；
当m=0时，△=0；
当0＜m≤3时，△＞0，
∴当-1≤m＜0时，原方程没有实数根；当m=0时，原方程有两个相等的实数根；当0＜m≤3时，原方程有两个不相等的实数根．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．