题目内容

如图，在锐角三角形ABC中，BC=10，BC边上的高AM=6，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．

（1）因为________，所以△ADE∽△ABC．
（2）如图1，当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；
（3）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y．
①如图2，当正方形DEFG在△ABC的内部时，求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围；
②如图3，当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围；
③当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC；

（2）当正方形DEFG的边GF在BC上时，
∵△ADE∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ ，
而AN=AM-MN=AM-DE，
∴ $\text{[math]}$ ，
解之得 $\text{[math]}$ ，
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为 $\text{[math]}$ ；

（3）①当正方形DEFG在△ABC的内部时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，
∵DE=x，
∴y=x²，
此时x的范围是0＜x≤ $\text{[math]}$ ；
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
∵△ADE∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ ，
而AN=AM-MN=AM-EP，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
此时 $\text{[math]}$ ；
③当0＜x≤ $\text{[math]}$ 时，
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$
∴当x=5时，y有最大值为15，
∵14.0625＜15
∴△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为15．
分析：（1）有平行于三角形一边的直线截另两边所构成的三角形与原三角形相似，可知因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC；
（2）由相似三角形的对应边成比例，可得 $\text{[math]}$ ，又由正方形DEFG的各边都相等，即可求得DE的长，即正方形DEFG的边长；
（3）①由正方形DEFG在△ABC的内部，可得△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，根据正方形面积的求解方法，易得y=x²；②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，由△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例，可得 $\text{[math]}$ ；
③分别求解①与②中的最大值，比较后即可求得y的最大值．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质与二次函数的性质．此题综合性很强，解题时要仔细分析．