Question

18．如图一，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为3cm．
如图二，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=4，则图中阴影部分的面积为8．

Answer 1

分析 如图一，由折叠可得阴影部分图形的周长正好等于原等边三角形的周长；
如图二，根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．

解答 解：如图一中，由折叠可得AD=A′D；AE=A′E，
∴阴影部分图形的周长为AB+BC+AC=3cm．
故答案为3．
如图二中，在Rt△AHC中，AC²=AH²+HC²，AH=HC，
∴AC²=2AH²，
∴HC=AH=$\frac{AC}{\sqrt{2}}$，
同理CF=BF=$\frac{CB}{\sqrt{2}}$，BE=AE=$\frac{AB}{\sqrt{2}}$，
在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²，AB=4，
S_阴影=S_△AHC+S_△BFC+S_△AEB=$\frac{1}{2}$HC•AH+$\frac{1}{2}$CF•BF+$\frac{1}{2}$AE•BE，
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{AC}{\sqrt{2}}$）²+$\frac{1}{2}$×（$\frac{BC}{\sqrt{2}}$）²+$\frac{1}{2}$×（$\frac{AB}{\sqrt{2}}$）²
=$\frac{1}{4}$（AC²+BC²+AB²）
=$\frac{1}{4}$（AB²+AB²）
=$\frac{1}{4}$×2AB²
=$\frac{1}{2}$×AB²
=$\frac{1}{2}$×4²
=8．
故答案为 8．

点评 本题考查折叠的问题、勾股定理、三角形的周长以及面积等知识，难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系，属于中考常考题型．