Question

12．如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求怔：AB+AC＞AD+AE．

Answer 1

分析 取BC中点G，延长AG到H使得AG=GH，连接BH，DH，延长HD交AB于K，先证明：BH=AC，DH=AE，再根据BH+BK＞KD+DH和AK+KD＞AD，得到BH+BK+AK+KD＞KD+DH+AD即BH+AB＞DH+AD得到证明．

解答 证明：取BC中点G，延长AG到H使得AG=GH，连接BH，DH，延长HD交AB于K．
在△HBG和△GCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=GH}\\{∠AGC=∠BGH}\\{CG=BG}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△CGA，
∴AC=BH，同理可得DH=AE，
∵BH+BK＞KH即BH+BK＞KD+DH，
又∵AK+KD＞AD，
∴BH+BK+AK+KD＞KD+DH+AD，
∴BH+AB＞DH+AD，
∵AC=BH，AE-DH，
∴AB+AC＞AD+AE．

点评 本题考查三边关系定理、全等三角形的判定和性质，作三角形中线，把中线延长一倍是常用的辅助线．