Question

18．如图，在平行四边形ABCD中，AB=9，AD=6，∠ADC的平分线交AB于点E，交CB的延长线于点F，AG⊥DE，垂足为G．若AG=4$\sqrt{2}$，则△BEF的面积是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 首先利用已知条件可证明△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出DE=2DG，而在Rt△ADG中，由勾股定理可求得DG的值，即可求得DE的长；然后，证明△ADE∽△BFE，再分别求出△ADE的面积，然后根据面积比等于相似比的平方即可得到答案．

解答 解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE；
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ADE=∠CDF=∠AED，
∴AD=AE=6，
∵AG⊥DE，垂足为G，
∴DE=2DG．
在Rt△ADG中，∵∠AGD=90°，AD=6，AG=4$\sqrt{2}$，
∴DG=$\sqrt{A{D}^{2}-A{G}^{2}}$=2，
∴DE=2DG=4；
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$DE•AG=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$．
∵AE=6，AB=DC=9，
∴BE=AB-AE=9-6=3，
∴AE：BE=6：3=2：1．
∵AD∥FC，
∴△ADE∽△BFE，
∴S_△ADE：S_△BFE=（AE：BE）²=4：1，
则S_△BEF=$\frac{1}{4}$S_△ADE=2$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．