Question

7．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN=∠AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E  
（1）求证：△AMN是等腰三角形；
（2）求BM•AN的最大值；
（3）当M为BC中点时，求ME的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
（2）作NH⊥AM于H，证明△NAH∽△AMB，根据相似三角形的性质得到AN•BM=$\frac{1}{2}$AM²，根据勾股定理计算即可；
（3）由（2）的结论，结合相似三角形的性质求出CE，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠NAM=∠BMA，又∠AMN=∠AMB，
∴∠AMN=∠NAM，
∴AN=MN，即△AMN是等腰三角形；
（2）解：作NH⊥AM于H，
∵AN=MN，NH⊥AM，
∴AH=$\frac{1}{2}$AM，
∵∠NHA=∠ABM=90°，∠AMN=∠AMB，
∴△NAH∽△AMB，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{AH}{BM}$，
∴AN•BM=AH•AM=$\frac{1}{2}$AM²，
在Rt△AMB中，AM²=AB²+BM²=9+BM²，
∵BM≤2，
∴9+BM²≤13，
∴AN•BM≤$\frac{13}{2}$，
即当BM=2时，BM•AN的最大值为$\frac{13}{2}$；
（3）解：∵M为BC中点，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=1，
由（2）得，AN•BM=$\frac{1}{2}$AM²，
∵AM²=3²+1²=10，
∴AN=5，
∴DN=5-2=3，
设DE=x，则CE=3-x，
∵AN∥BC，
∴$\frac{DN}{CM}$=$\frac{DE}{CE}$，即$\frac{3}{1}$=$\frac{x}{3-x}$，
解得，x=$\frac{9}{4}$，即DE=$\frac{9}{4}$，
∴CE=$\frac{3}{4}$，
∴ME=$\sqrt{C{E}^{2}+C{M}^{2}}$=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用以及等腰三角形的性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意方程思想的正确运用．