Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（点P与F、G不重合），作PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）若经过B、E、C三点的抛物线的解析式为y=-x²+（2b-1）x+c-5，则b=

 

，c=

 

（直接填空）
（2）①以P、D、E为顶点的三角形是直角三角形，则点P的坐标为

 

（直接填空）
②若抛物线顶点为N，又PE+PN的值最小时，求相应点P的坐标．
（3）连结QN，探究四边形PMNQ的形状：
①能否成为平行四边形？
②能否成为等腰梯形？
若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线与x轴的交点坐标易求对称轴，利用对称轴公式来求b的值；根据点E的坐标来求c的值；
（2）①分两种情况：∠EDP=90°和EPD=90°；
②以直线AD为对称轴，作点N的对称点N′，连接EN′，EN′与直线AD的交点即为所求的点P；
（3）设点P为（x，x+2）Q（x，-x²+3x+4），则PQ=-x²+2x+2，根据PQNM是平行四边形，则PQ=MN，即可求得PM的长，判断是否成立，从而确定；根据①的解法即可确定P的坐标．

解答：解：（1）如图1，∵OA=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，
∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）．
∴抛物线对称轴为x=

4-1

2

=

3

2

，
又 过B、E、C三点的抛物线的解析式为y=-x²+（2b-1）x+c-5，
∴-

2b-1

2×(-1)

=

3

2

，c-5=4，
解得 b=2，c=9．
故填：2；9；

（2）①设直线AD的解析式为：y=kx+2（k≠0）．
∵A（-2，0），
∴0=-2k+2，
解得 k=1，
∴直线AD的解析式为：y=x+2．
如图1，过点E作EP∥x轴交直线AD与点P，则∠PED=90°．
∴把y=4代入y=x+2，得
x=2，
则P（2，4）．
∴ED=EP．
过点E作EP′⊥直线AD于点P′，则∠EP′D=90°．
∴点P′是线段DP的中点．
∴P′（1，3）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为：（2，4）或（1，3）．
故填：（2，4）或（1，3）；
②如图2，作点N关于直线AD的对称点N′，连接EN′，EN′与直线AD的交点即为所求的点P．所以 P（

34

19

，

72

19

）；
（3）点M坐标是（

3

2

，

7

2

），点N坐标是（

3

2

，

25

4

），
∴MN=

11

4

，
设点P为（x，x+2），Q（x，-x²+3x+4），则PQ=-x²+2x+2
①如图3，若P′Q′NM是平行四边形形，则P′Q′=MN，可得x₁=0.5，x₂=1.5
当x₂=1.5时，点P′与点M重合；当x₁=0.5时，可求得P′M=

2

，所以平行四边形不存在；

②如图3，能成为等腰梯形，作QH⊥MN于点H，作PJ⊥MN于点J，则NH=MJ，
则

25

4

-（-x²+3x+4）=x+2-

7

2

，
解得：x=2.5，
此时点P的坐标是（

5

2

，

9

2

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形、等腰梯形的判定．