Question

已抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，AB=2，对称轴为x=2，与y轴交于点C，其中C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A、点B），如图；当S_△PBC=S_△ABC时，求点P的坐标；
（3）已知点D（3.5，-1.5），点Q为抛物线上一点，当CQ平分四边形OBDC的面积时，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）如图1，作抛物线的对称轴l交x轴于点E，由抛物线的对称性就可以得出AE=BE，由对称轴就可以得出E的坐标，进而求出A、B的坐标，再由待定系数法就可以求出结论；
（2）如图2，作点A关于BC的对称点D，连接BD，CD，就可以得出AB=BD，CD=AC，设D（x，y），由两点间的距离公式建立方程组求出D的坐标，作m∥BC交抛物线于点P，先由待定系数法求出m的解析式，再由抛物线的解析式与m的解析式购成方程组求出其解就可以求出P的坐标；
（3）连结CD、BD，作DG⊥x轴于点G，就可以求出四边形OGDC的面积，就可以求出一半的值，设CQ交x轴于点F，设F（a，0），由待定系数法就可以求出CF的解析式，再由直线CF的解析式与抛物线的解析式构成方程组求出其解就可以求出结论．

解答：解：（1）如图1，作抛物线的对称轴l交x轴于点E，
∴AE=BE=

1

2

AB，E（2，0），
∴OE=2．
∵AB=2，
∴AE=BE=1．
∴OA=1，OB=3
∴A（1，0），B（3，0）．
∴

0=a+b+c 0=9a+3b+c -3=c

，
解得：

a=-1 b=4 c=-3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x-3；
（2）如图2，作点A关于BC的对称点D，连接BD，CD，
∴△ABC≌△DBC，
∴AB=DB，AC=DC．
在Rt△AOC中，由勾股定理，得
AC=

10

．
∴CD=

10

．
∵AB=2，
∴DB=2．
设D（x，y），由两点间的距离公式，得

(3-x)2+(0-y)2=BD2 (0-x)2+(-3-y)2=CD2

，
∴

(3-x)2+(0-y)2=4 (0-x)2+(-3-y)2=10

，
解得：

x=3 y=-2

，
∴D（3，-2）．
作m∥BC交抛物线于点P，设直线BC的解析式为y=kx+b，由题意，得

0=3k+b -3=b

，
解得：

k=1 b=-3

，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
设直线m的解析式为y=x+d，由题意，得
-2=3+d，
∴d=-5，
∴y=x-5，
∴

y=x-5 y=-x2+4x-3

，
解得：

x1= 3+ 17 2 y1= -7+ 17 2

，

x2= 3- 17 2 y2= -7- 17 2

，
∴P₁（

3+ 17

2

，

-7+ 17

2

）或P₂（

3- 17

2

，

-7- 17

2

）；
当点P在AB上方，过点A∥BC的直线的将诶相似为y=x-1，
∴

y=x-1 y=-x2+4x-3

，
解得：

x3=1 y3=0

，

x4=2 y4=1

，
∴P₃=（2，1）．
∴符合条件的点P的坐标为：P₃=（2，1），P₁（

3+ 17

2

，

-7+ 17

2

）或P₂（

3- 17

2

，

-7- 17

2

）；
（3）如图3，连结CD、BD，作DG⊥x轴于点G，
∴∠OGD=90°．
∵D（3.5，-1.5），
∴OG=3.5，DG=1.5，
∴BG=0.5．
∴S_{四边形OBDC}=S_梯形OGDC-S_△BGD
∴S_{四边形OBDC}=

(1.5+3)×3.5

2

-

0.5×1.5

2

=

15

2

，
∴

1

2

S_{四边形OBDC}=

15

4

设CQ交x轴于点F，设F（a，0），
∴S_△OCF=

15

4

，
∴

3a

2

=

15

4

，
∴a=

5

2

．
∴F（

5

2

，0）．
设CF的解析式为y=kx+b，由题意，得

-3=b 0=2.5k+b

，
解得：

k= 6 5 6=-3

，
∴y=

6

5

x-3，
∴

y= 6 5 x-3 y=-x2+4x-3

，
解得：

x1=0 y1=-3

，

x2= 14 5 y2= 9 25

，
∴Q点的坐标为（

14

5

，

9

25

）．

点评：本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，一次函数的解析式的运用，轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，梯形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，抛物线的性质的运用，二元二次方程组的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．