Question

17．如图1，已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（1，0），B（-3，0）两点，且与y轴交于点C．

（1）求b，c的值；
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B，E，O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A和点B的坐标代入抛物线y=-x²+b x+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）先利用待定系数法求出BC的解析式，设P点（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0），则D（x，x+3），则PD=-x²-3x，则利用S_△BPC=S_△PBD+S_△CPD=$\frac{1}{2}$•3•（-x²-3x）得到S与x的二次函数关系式，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）根据圆周角定理得出OE=OF，∠EOF=90°，利用S_△OEF=OE•OF=OE²，进而分析得出OE最小时，△OEF面积取得最小值，进而得出E点在BC的中点时，即可得出答案．

解答 解：（1）把A（1，0），B（-3，0）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，．
所以抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；
（2）存在．
如图1，作PD∥y轴交BC于D，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（-3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$．
故直线BC的解析式为y=x+3，
设P点（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0），则D（x，x+3），
∴PD=-x²-2x+3-（x+3）=-x²-3x，
∴S_△BPC=S_△PBD+S_△CPD
=$\frac{1}{2}$•3•（-x²-3x）
=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x
=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当x=-$\frac{3}{2}$时，S_△BPC最大=$\frac{27}{8}$，
当x=-$\frac{3}{2}$时，y=-x²-2x+3=$\frac{15}{4}$，
∴点P坐标为：（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）如图2，∵OB=OC=3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵BF⊥BE，
∴∠FBO=45°，
∴∠OEF=∠OBF=45°，∠OFE=∠OBE=45°，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴OE=OF，∠EOF=90°，
∴S_△OEF=OE•OF=OE²，
∴当OE最小时，△OEF面积取得最小值，
∵点E在线段BC上，
∴当OE⊥BC时，OE最小，此时点E是BC中点，
∴E（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会应用二次函数的性质解决最值问题；会利用待定系数法求函数解析式．利用圆周角定理得出EO=FO，进而分析得出OE最小时，△OEF面积取得最小值是解题关键．