Question

7．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥CD，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转90°后得到线段OE′，已知OE=12，sin∠BAC=$\frac{12}{13}$．
（1）求AC的长；
（2）当F为射线ED上任意一点（点F不与点E重合）时，连接OF，将线段OF绕点O逆时针旋转90°得到线段OF′．试判断直线E′F′与直线CD的位置关系，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，设EF=x，S_△AEF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形得到∠OCE=∠BAC，利用三角函数即可；
（2）由△EOF≌△E′OF′，得到∠F′E′O=∠OEF=90°，从而判断出垂直；
（3）分三种情况讨论（a）当点F在线段EG上时，可得y=$\frac{1}{2}$x（12-x）=-$\frac{1}{2}$x²+6x，x的取值范围为0＜x＜12．（b）当点F在EG的延长线上时，y=$\frac{1}{2}$x（x-12）=$\frac{1}{2}$x²-6x，x的取值范围为x＞12．（c）当点F与点G重合时，△E′FF′不存在．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AC=2OC，
∴∠OCE=∠BAC，
∴sin∠OCE=sin∠BAC=$\frac{12}{13}$．
在Rt△OCE中，
∵OE=12，
∴OC=13．
∴AC=2OC=26；
（2）垂直；
证明：∠EOF=∠E′OF′．
又∵OE=OE′，OF=OF′，
∴△EOF≌△E′OF′，
∴∠F′E′O=∠OEF=90°，
∴E′F′所在的直线与OE平行，
∴直线E′F′与直线CD的位置关系是垂直．
（3）设直线E′F′
与直线CD的交点为G．易得四边形OEGE′是正方形，
∴EG=12．
（a）当点F在线段EG上时，
可得y=$\frac{1}{2}$x（12-x）=-$\frac{1}{2}$x²+6x，x的取值范围为0＜x＜12．
（b）当点F在EG的延长线上时，
y=$\frac{1}{2}$x（x-12）=$\frac{1}{2}$x²-6x，x
的取值范围为x＞12．
（c）当点F与点G重合时，△E′FF′不存在．
综上所述：y与x的函数关系式为
y=-$\frac{1}{2}$x²+6x（0＜x＜12）和y=$\frac{1}{2}$x²-6x（x＞12）．

点评 此题是几何变换的综合题，主要考查旋转中的动点问题，旋转的性质的灵活运用是解本题的关键．