Question

16．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，与y轴负半轴交于点C．
（1）下列结论：①2a-b=0；②a+b+c＞0；③c=-3a；其中正确的是③；
（2）若△ABD是等腰直角三角形，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴是x=1，以及对称轴公式，当x=1时的函数值即可作出判断；
（2）作DE⊥AB于点E，根据△ABC是等腰直角三角形，即可求得D的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式，从而求得a的值．

解答 解：（1）对称轴是x=$\frac{-1+3}{2}$=1，即-$\frac{b}{2a}$=1，则2a+b=0，故①错误；
当x=1时，y=a+b+c＜0，故②错误；
∵函数经过点（-1，0）和（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0…①}\\{9a+3b+c=0…②}\end{array}\right.$，
由①得b=a+c，
代入②得：9a+3（a+c）+c=0，即12a+4c=0，则c=-3a．故③正确．
故答案是：③；
（2）作DE⊥AB于点E．
AB=3-（-1）=4，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=2，
则D的坐标是（1，-2）．
设二次函数的解析式是y=a（x-1）²-2，
把（-1，0）代入得4a-2=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确根据等腰直角三角形的性质求得D的坐标是关键．