Question

1．如图，在等腰三角形ABC中，CE，BF是两腰上的高线，点P，Q分别在BE，CF的延长线上，且BP=AC，CQ=AB，△APQ是等腰三角形吗？请说明理由．

Answer 1

分析 利用已知条件先证明△BEC≌△BFC，得到∠BCE=∠BCF，进一步证明∠ABP=∠ACQ，再证明△ABP≌△AQC，得到AQ=AP，即△APQ为等腰三角形．

解答 解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CE，BF是两腰上的高线，
∴∠BEC=∠BFC=90°，
在△BEC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ACB}\\{∠BEC=∠BFC=90°}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△BFC，
∴∠BCE=∠BCF，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABP=∠ACQ，
在△ABP和△AQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=AC}\\{∠ABP=∠ACQ}\\{CQ=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△AQC，
∴AQ=AP，
∴△APQ为等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BEC≌△BFC，△ABP≌△AQC．