Question

已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x²+（2﹣3a）x+3=0．

（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；

（2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，并且．直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B．坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式；

（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为时，求θ的值．

Answer 1

 

【考点】根的判别式；根与系数的关系；坐标与图形性质；反比例函数的图象；旋转的性质．

【专题】综合题．

【分析】（1）由方程（a﹣1）x²+（2﹣3a）x+3=0为一元二次方程，所以a≠0；要证明方程总有两个实数根，即证明当a取不等于1的实数时，△＞0，而△=（2﹣3a）²﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）²，即可得到△≥0．

（2）先利用求根公式求出两根3，，再代入，可得到a=2，则m=1，n=3，直线l：y=x+3，这样就可得到坐标原点O关于直线l的对称点，代入反比例函数，即可确定反比例函数的解析式；

（3）延长PQ，AO′交于点G，设P（0，p），则Q（﹣，p）．四边形APQO'的面积=S_△APG﹣S_△QGO′=，这样可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO=60°，这样就可求出θ．

【解答】（1）证明：∵方程（a﹣1）x²+（2﹣3a）x+3=0是一元二次方程，

∴a﹣1≠0，即a≠1．

∴△=（2﹣3a）²﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）²，而（3a﹣4）²≥0，

∴△≥0．

所以当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；

（2）解：∵m，n（m＜n）是此方程的两根，

∴m+n=﹣，mn=．

∵， =，

∴﹣=，

∴a=2，即可求得m=1，n=3．

∴y=x+3，则A（﹣3，0），B（0，3），

∴△ABO为等腰直角三角形，

∴坐标原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（﹣3，3），把（﹣3，3）代入反比例函数，得k=﹣9，

所以反比例函数的解析式为y=﹣；

 

（3）解：设点P的坐标为（0，p），延长PQ和AO′交于点G．

∵PQ∥x轴，与反比例函数图象交于点Q，

∴四边形AOPG为矩形．

∴Q的坐标为（﹣，p），

∴G（﹣3，P），

当0°＜θ＜45°，即p＞3时，

∵GP=3，GQ=3﹣，GO′=p﹣3，GA=p，

∴S_{四边形APQO′}=S_△APG﹣S_△QGO′=×p×3﹣×（3﹣）×（p﹣3）=9﹣，

∴=9﹣，

∴p=．（合题意）

∴P（0，）．则AP=6，OA=3，

所以∠PAO=60°，∠θ=60°﹣45°=15°；

当θ=45°时，直线l于y轴没有交点；

当45°＜θ＜90°，则p＜﹣3，

用同样的方法也可求得p=，这与p＜﹣3相矛盾，舍去．

所以旋转角度θ为15°．

【点评】题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了反比例函数的性质和一些几何图形的性质．