Question

如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N，交BE于P．
（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，求出S关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，写出

MF

FN

的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）解题的关键是作辅助线ME、FN，证明出来△EBA≌△MNF，把需要解决的问题转化成解直角三角形的问题，利用勾股定理解答．
（2）根据（1）的答案，利用二次函数的最值问题即可求出；
（3）在（2）的条件下，利用全等三角形的性质得到AE=MF=1，AB=FN=2，所以易求

MF

FN

的值．

解答：解：（1）如图，连接ME，设MN交BE于P，则MB=ME，MN⊥BE．
过N作AB的垂线交AB于F．
在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°，
在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠FNM，即∠ABE=∠FNM
在△EBA与△MNF中，

∠A=∠MFN AB=FN ∠ABE=∠FNM

，
∴△EBA≌△MNF（ASA），
∴MF=AE=x．
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM，则由勾股定理得到：（2-AM）²=x²+AM²．
整理，得
4-4AM+AM²=x²+AM²，即4-4AM=x²，
解得 AM=1-

1

4

x²．
∴梯形ADNM的面积S=

AM+DN

2

×AD=

AM+AF

2

×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2（1-

1

4

x²）+x
=-

1

2

x²+x+2
即所求关系式为S=-

1

2

x²+x+2；

（2）S=-

1

2

x²+x+2=-

1

2

（x²-2x+1）+

5

2

=-

1

2

（x-1）²+

5

2

，
故当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，最大值是

5

2

；

（3）由（1）知，△EBA≌△MNF，则MF=AE，AB=FN=2．
由（2）知，AE=1，则MF=1，
故

MF

FN

=

1

2

．即

MF

FN

的值是

1

2

．

点评：此题的综合性比较强，涉及面较广，涉及到正方形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理的运用，在解答此题时要连接ME，过N点作AB的垂线再求解．