Question

6．如果x⁴-x³+kx²-2kx-2能分解为两个整系数的二次因式，试求k的值．

Answer 1

分析 由于（x²）²-x³+kx²-2kx-2能分解成两个整数系数的二次因式的积，可设（x²）²-x³+kx²-2kx-2=（x²+ax-1）（x²+bx+2）或（x²+ax+1）（x²+bx-2）．展开利用对应项的系数相等即可得出．

解答 解：∵（x²）²-x³+kx²-2kx-2能分解成两个整数系数的二次因式的积，
∴可设（x²）²-x³+kx²-2kx-2=（x²+ax-1）（x²+bx+2）或（x²+ax+1）（x²+bx-2）．
①（x²+ax-1）（x²+bx+2）=x⁴+（a+b）x³+（1+ab）x²+（2a-b）x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-1}\\{1+ab=k}\\{2a-b=-2k}\end{array}\right.$，
解得k=1或k=$\frac{7}{4}$．
②（x²+ax+1）（x²+bx-2）=x⁴+（a+b）x³+（ab-1）x²+（b-2a）x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-1}\\{ab-1=k}\\{b-2a=-2k}\end{array}\right.$，
解得k=-1或k=-$\frac{7}{4}$．
综上可得：k的值为1或$\frac{7}{4}$或-1或-$\frac{7}{4}$．

点评 此题考查了因式分解的应用，理解题意，根据原式分解为两个整系数的二次因式，利用待定系数法求得答案即可．