Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，直线y=x-4k与双曲线y=

16k

x

在第一象限的交点为A（a，b），且OA=4

3

．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）将直线y=x-4k向上平移10个单位后与双曲线y=

16k

x

相交于点D，求点D的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）把A（a，b）分别代入两个解析式得到

b=a-4k b= 16k a

，变形得到

a-b=4k ab=16k

，利用完全平方公式有a²+b²=（a-b）²+2ab=16k²+32k，再利用勾股定理得OA²=a²+b²=48，所以16k²+32k=48，解方程得k₁=-3（舍去），k₂=1，于是可得到两函数解析式；
（2）根据直线平移的规律得到直线y=x-4向上平移10个单位后的直线解析式为y=x+6，然后解方程组

y=x+6 y= 16 x

 即可得到D点坐标．

解答：解：（1）∵点A（a，b）是直线y=x-4k与双曲线y=

16k

x

在第一象限的交点，
∴

b=a-4k b= 16k a

，
∴

a-b=4k ab=16k

，
∴a²+b²=（a-b）²+2ab=16k²+32k，
∵OA=4

3

，
∴OA²=a²+b²=48，
∴16k²+32k=48，即k²+2k-3=0
解得k₁=-3（舍去），k₂=1，
∴k=1，
∴直线的解析式为y=x-4，双曲线的解析式为y=

16

x

；

（2）直线y=x-4向上平移10个单位后的直线解析式为y=x+6，
解方程组

y=x+6 y= 16 x

 得

x=2 y=8

或

x=-8 y=-2

，
故D点坐标为（2，8）或（-8，-2）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．