Question

已知关于x的方程x²+（a-2）x+a+1=0的两实根x₁、x₂满足x12+x22=4，则实数a=

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：探究型

分析：先根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和，代入x12+x22=4进行计算即可．

解答：解：∵关于x的方程x²+（a-2）x+a+1=0的两实根为x₁、x₂，
∴△=（a-2）²-4（a+1）≥0，即a（a-8）≥0，
∴当a≥0时，a-8≥0，即a≥8；
当a＜0时，a-8＜0，即a＜8，所以a＜0．
∴a≥8或a＜0，
∴x₁+x₂=2-a，x₁•x₂=a+1，
∵x₁²+x₂²=4，（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（2-a）²-2（a+1）=4，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（2-a）²-2（a+1）=4，解得a=3±

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．
∵3＜

11

＜4，
∴6＜3+

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＜7（不合题意舍去），3-

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＜0；
∴a=3-

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．
故答案为：a=3-

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．

点评：本题考查的是根与系数的关系，熟记x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

是解答此题的关键．