Question

如图，正方形ABCD的边长为2

15

，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是（　　）

• A、8
• B、12
• C、

  15

• D、15

Answer 1

考点：平行线分线段成比例,正方形的性质

专题：计算题

分析：根据正方形的性质以及中点的定义得到AD=AB=2

15

，AE=BF=

15

，利用勾股定理计算出DE=AF=5

3

，易证得△ADE≌△BAF，得到∠ADE=∠BAF，则有∠ADM+∠DAM=90°，利用面积相等得到AM•DE=AE•AD，可到AM=2

3

，再根据勾股定理计算DM=4

3

，由AD∥CB，根据平行线分线段成比例定理得到AN：NF=AD：BF=2：1，于是AN=

2

3

AF=

10 3

3

，然后利用S_△DMN=S_△AND-S_△AMD进行计算即可．

解答：解：∵正方形ABCD的边长为2

15

，E，F分别是AB，BC的中点，
∴AD=AB=2

15

，AE=BF=

15

，
∴DE=AF=

(2 15 )2+( 15 )2

=5

3

，
在△ADE和△BAF中

AD=AB ∠EAD=∠FBA AE=BF

，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE=∠BAF，
而∠BAF+∠DAM=90°，
∴∠ADM+∠DAM=90°，
∴AM•DE=AE•AD，即AM×5

3

=

15

×2

15

，
∴AM=2

3

，
∴DM=

AD2-AM2

=4

3

，
∵AD∥CB，
∴AN：NF=AD：BF=2：1，
∴AN=

2

3

AF=

10 3

3

，
∴S_△DMN=S_△AND-S_△AMD=

1

2

×4

3

×

10 3

3

-

1

2

×4

3

×2

3

=8．
故选A．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，截得的线段对应成比例．也考查了正方形的性质以及勾股定理．