Question

18．如图所示已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）如图，∠MON=45°；
（2）如图，∠AOB=90°，若∠BOC=（2x）°，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，请说明理由；
（3）若∠AOB=α，∠BOC=β，（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°）仍然分别作
∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，求∠MON的度数；并从你的求解中看出什么规律吗？写出规律，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠MOC，∠NOC，利用∠MON=∠MOC-NOC即可．
（2）和（1）类似；
（3）用α、β表示∠MOC，∠NOC，根据∠MON=∠MOC-∠NOC得到．

解答 解：（1）∵∠AOB=90°∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=120°×$\frac{1}{2}$=60°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴∠MON∠MOC-∠NOC=45°
故答案为45°
（2）∵∠AOB=90°∠BOC=（2x）°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+（2x）°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°+x°
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×（2x）°=x°，
∴∠MON∠MOC-∠NOC=45°
（3）∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（α+β），
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{β}{2}$，
∴∠MON∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}（α+β）$-$\frac{β}{2}$=$\frac{α}{2}$．
规律：∠MON的度数与∠BCO无关，∠MON=$\frac{α}{2}$．
理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（α+β），
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{β}{2}$，
∴∠MON∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}（α+β）$-$\frac{β}{2}$=$\frac{α}{2}$．

点评 本题考查角的和差定义、角平分线的定义，利用∠MON=∠MOC-∠NOC是解决问题的关键．