题目内容

7.计算:
(1)$\frac{2x}{x-2}+\frac{4}{2-x}$
(2)($\frac{1}{a-b}$-$\frac{b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$)÷$\frac{a}{a+b}$
(3)先化简,再求值:$\frac{x}{x+2}$÷$\frac{{{x^2}-x}}{{{x^2}+4x+4}}$-$\frac{x}{x-1}$,其中x=1+$\sqrt{3}$.
(4)先化简,再求值:$\frac{{m}^{2}-2m+1}{{m}^{2}-1}$$÷(m-1-\frac{m-1}{m+1})$,其m=$\sqrt{3}$.

分析 (1)根据分式的加法可以解答本题;
(2)先化简括号内的式子,然后根据分式的除法可以解答本题;
(3)根据分式的除法和减法可以化简所求的式子,然后x的值代入即可解答本题;
(4)先化简括号内的式子,然后根据分式的除法可以化简所求的式子,然后将m的值代入即可解答本题.

解答 解:(1)$\frac{2x}{x-2}+\frac{4}{2-x}$
=$\frac{2x-4}{x-2}$
=$\frac{2(x-2)}{x-2}$
=2;
(2)($\frac{1}{a-b}$-$\frac{b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$)÷$\frac{a}{a+b}$
=$\frac{a+b-b}{(a-b)(a+b)}×\frac{a+b}{a}$
=$\frac{a}{(a-b)(a+b)}×\frac{a+b}{a}$
=$\frac{1}{a-b}$;
(3)$\frac{x}{x+2}$÷$\frac{{{x^2}-x}}{{{x^2}+4x+4}}$-$\frac{x}{x-1}$
=$\frac{x}{x+2}×\frac{(x+2)^{2}}{x(x-1)}-\frac{x}{x-1}$
=$\frac{x+2}{x-1}-\frac{x}{x-1}$
=$\frac{2}{x-1}$,
当x=1+$\sqrt{3}$,
原式=$\frac{2}{1+\sqrt{3}-1}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

(4)$\frac{{m}^{2}-2m+1}{{m}^{2}-1}$$÷(m-1-\frac{m-1}{m+1})$
=$\frac{(m-1)^{2}}{(m+1)(m-1)}÷\frac{(m-1)(m+1)-(m-1)}{m+1}$
=$\frac{m-1}{m+1}÷\frac{m(m-1)}{m+1}$
=$\frac{m-1}{m+1}×\frac{m+1}{m(m-1)}$
=$\frac{1}{m}$,
当m=$\sqrt{3}$时,原式=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值,解题的关键是明确它们的计算方法.

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