Question

如图，已知抛物线C₁与坐标轴的交点依次是A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）．
（1）求抛物线C₁关于原点对称的抛物线C₂的解析式；
（2）设抛物线C₁的顶点为M，抛物线C₂与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；同时，点M，点N以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合，四点同时停止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值．
（3）在运动过程中，四边形MDNA是否能形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
（4）若P为抛物线C₁上的一个点，连接PM，PN，当S_△PMN=S_矩形MDNA时，过点P作直线PQ∥MN交轴于点Q，则点Q的坐标是多少？直接写出结果．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）可先求出A、B、E关于原点对称的对称点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）根据中心对称图形的性质不难得出OA=OD，OM=ON，因此四边形AMDN是平行四边形，那么其面积就是三角形ADN面积的2倍，可据此来求S，t的函数关系式．
（3）根据（2）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可得出S的最大值及对应的t的值．
（4）此时点Q离MD的距离等于点A到MD的距离的2倍．

解答：解：（1）∵C₁关于C₂原点对称，则有A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）
对称点（4，0），（2，0），（0，-8）在抛物线C₂上
设抛物线C₂的解析式为：y=a（x-4）（x-2）
又当x=0时，y=-8
解得a=-1
∴C₂解析式为y=-x²+6x-8；
             
（2）由中心对称知：
S=2S_△AND
而AD=8-2t，AD边上高h=1+2t
∴S=2×

1

2

(8-2t)(1+2t)
即S=-4t²+14t+8（0≤t≤4）；
由S=-4t2+14t+8=-4(t-

7

4

)2+20

1

4

∴当t=

7

4

时，S_最大值=20

1

4

；

（3）在转动的过程中，假设四边形MDNA是矩形，连结ON，则有ON=OD，OD=4-t
由勾股定理得：ON²=3²+（1+2t）²
∴3²+（1+2t）²=（4-t）²
即t²+4t-2=0
解得t1=-2+

6

t2=-2-

6

，
又t≥0
∴t=-2+

6

，
∴当运动了(-2+

6

)秒时，四边形MDNA为矩形．

（4）∵S_△PMN=S_矩形MDNA，PQ∥MN，
∴点Q离MD的距离等于点A到MD的距离的2倍．
∵A（-4，0），
∴Q（-8，10）．

点评：本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高．