Question

如图，A是线段BF延长线上的点，矩形BCDF的外接圆O交AC的中点E．
（1）求证：BD=AF；
（2）若BC=4，DC=3，求tan∠BAC的值．

Answer 1

考点：矩形的性质,勾股定理,圆周角定理

专题：计算题

分析：（1）由矩形的对边相等，对角线相等，且四个角为直角得到BD=FC，BF=DC，∠FDC=90°，再由FC为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠FEC=∠FDC=90°，即FE垂直于AC，由E为AC的中点，得到FE垂直平分AC，即CF=AF，等量代换即可得证；
（2）在直角三角形BCD中，由BC与DC的长，利用勾股定理求出BD的长，即为CF与AF的长，由AF+FB=AF+DC求出AB的长，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠BAC的值．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，BD=FC，BF=DC，∠FDC=90°，
∴FC为圆O的直径，
∴∠FEC=∠FDC=90°，即FE⊥AC，
∵E是AC的中点，
∴AF=FC，
∴BD=AF；
（2）在Rt△BCD中，BC=4，DC=3，
根据勾股定理得：BD=

BC2+DC2

=

42+32

=5=AF，BF=DC=3，
∴AB=AF+BF=5+3=8，
∴在Rt△ABC中，tan∠BAC=

BC

AB

=

4

8

=

1

2

．

点评：此题考查了矩形的性质，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．