Question

16．如图，四边形ADBC中，BC=2BD，AB平分∠DBC，AB=AC，求证：AD⊥BD．

Answer 1

分析 取BC中点E连接AE，得到△ABC为等腰三角形，再证明△ABE≌△ABD，得到∠AEB=∠ADB，根据AE垂直BC，得到∠AEB=∠ADB=90°，即AD⊥BD．

解答 解：如图，取BC中点E连接AE，

∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AE垂直且平分BC（等腰三角形中线定理），
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∵2BD=BC，
∴BD=BE，
∵AB是∠CBD角平分线，
∴∠ABE=∠ABD，
在△ABD和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}\\{∠ABD=∠ABE}\\{AB=AB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ABD，
∴∠AEB=∠ADB，
∵AE垂直BC，
∠AEB=∠ADB=90°，
∴AD⊥BD．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ABC为等腰三角形，△ABE≌△ABD．