Question

6．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M，N，P，Q在以O为圆心的同一个圆上．

Answer 1

分析 连接OP，OQ，OM，ON．利用菱形的性质可以证明OP=OQ=OM=ON=$\frac{1}{2}$AB，由此即可证明M，N，P，Q四点在以O为圆心，$\frac{1}{2}$AB为半径的圆上．

解答 解：如图，

连接OP，OQ，OM，ON．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=DA，且BD⊥AC．
∵M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴OP=OQ=OM=ON=$\frac{1}{2}$AB，
∴M，N，P，Q四点在以O为圆心，$\frac{1}{2}$AB为半径的圆上．

点评 此题考查菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明M，N，P，Q在以O为圆心的同一个圆上，只要得出OP=OQ=OM=ON即可．