Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴的另一交点是B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D（a，a+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC的对称点D′的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点D作DE⊥BC于点E，反比例函数y=

k

x

(k≠0)的图象经过点E，点F(m，n-

3

)在此反比例函数图象上，求4n-

15

m

的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）首先求出D点坐标，进而求出∠DCB=45°=∠BCD，则点D′在y轴上，且CD=CD′=3，即可得出D′点坐标；
（3）首先利用D，D′点坐标得出E点坐标，即可得出反比例函数解析式，进而得出4n-

15

m

的值．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0）、C（0，4）两点，
∴

-1-b+c=0 c=4

，
解得：

b=3 c=4

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+3x+4；

（2）∵y=-x²+3x+4，B点在x轴上，
∴点B（0，4），OB=4，
∵点D（a，a+1）在第一象限的抛物线上，
∴a+1=-a²+3a+4，
解得：a₁=3，a₂=-1，
∵点D（a，a+1）在第一象限，
∴a₂=-1不合题意舍去，
∴a=3，
∴点D（3，4），
∵C（0，4），
∴CD∥x轴，CD=3，
∵OC=4，OB=4，
∴∠OCB=45°=∠BCD，
∴点D′在y轴上，且CD=CD′=3，
∴点D′（0，1）；

（3）∵点D（3，4），点D′（0，1），
∴点E（

3

2

，

5

2

），
∴反比例函数解析式为：y=

15

4x

，
∵点F（m，n-

3

）在反比例函数y=

15

4x

图象上，
∴m≠0，
∴m（n-

3

）=

15

4

，
∴4m（n-

3

）=15，
∵m≠0，
∴4n-4

3

=

15

m

，
∴4n-

15

m

=4

3

．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质和图象上点的坐标性质等知识，利用数形结合得出点D′位置是解题关键．