Question

如图，在?ABCD中，过A、B、D三点的⊙O交BC于点E，连接DE，∠CDE=∠DAE．
（1）判断四边形ABED的形状，并说明理由；
（2）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=3，AE=6，求CE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,平行四边形的性质

专题：计算题

分析：（1）四边形ABED为等腰梯形，理由为：利用四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由平行四边形的对角相等，利用等量代换得到∠DEC=∠C，利用等角对等边得到DE=DC，而DC=AB，故DE=AB，再由BE与AD平行，DE与AB不平行即可得证；
（2）DC与圆O相切，理由：连接DO并延长与圆交于F点，利用圆周角定理及等量代换得到OD与DC垂直，即可得证；
（3）由等腰梯形对角线相等得到AE=BD，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角，以及公共角相等得到三角形CDE与三角形BCD相似，由相似得比例，即可求出CE的长．

解答：解：（1）四边形ABED为等腰梯形，理由为：
∵∠DEC为圆内接四边形ABED的外角，
∴∠DEC=∠DAB，
∵ABCD为平行四边形，
∴∠C=∠DAB，DC=AB，AD∥BC，
∴∠DEC=∠C，
∴DC=DE，
∴AB=DE，
∵AD∥BC，DE与AB不平行，
∴四边形ABED为等腰梯形；

（2）DC与圆O相切，理由为：
连接DO并延长，交圆O于点F，连接AF，
∵DF为圆的直径，
∴∠DAF=90°，即∠DAE+∠EAB+∠BAF=90°，
∵∠DAE=∠CDE，∠EAB=∠EDB，∠BAF=∠BDF，
∴∠FDC=∠CDE+∠EDB+∠BDF=90°，
则DC与圆O相切；

（3）∵四边形ABED为等腰梯形，
∴AE=DB=6，
∵DC与圆O相切，
∴∠CDE=∠DBC，
∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CDB，
∴

CE

CD

=

ED

BD

，
∵AB=CD=3，DE=3，BD=6，
∴

CE

3

=

3

6

，
解得：CE=1.5．

点评：此题考查了切线的判定，平行四边形的性质，等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．