Question

如图，已知∠ABC=60°，⊙O的半径为2cm，且与角的两边都相切．若在角内部再放个圆，使它与角两边以及⊙O都相切，则放入圆的半径是

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：本题要分两种情况讨论：当放入圆的半径小于圆O半径时和当放入圆的半径大于圆O半径时，根据切线性质和已知条件求出符合题意的新圆的半径即可．

解答：解：如图所示，当放入圆的半径小于圆O半径时，设⊙M与⊙O相切于点P，作OD⊥AB于点D，ME⊥AB于点E，
∵⊙M和⊙O的圆心点M和点O都在∠ABC的角平分线上，
∴点B、点M和点O共线，
设⊙O半径为R，则OP=OD=R=2cm，
设⊙M半径为r，则MP=ME=r，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=∠CBO=30°，
又ME⊥AB OD⊥AB，
易得BM=2•EM=2r，OB=2•OD=2R=4，
∴OM=OB-BM=4-2r 又OM=OP+PM=R+r=2+r，
∴4-2r=2+r，
∴r=

2

3

cm；
当放入圆的半径大于圆O半径时，
设新放入的圆半径为R，圆O的半径为r，则依据线段的数量关系可得2R-2r=r+R，
即R=3r=6cm，
故答案为：

2

3

cm或6cm．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．