Question

9．如图，C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，且AN，BN相交于点O．
（1）求证：AN=BM；
（2）求∠AOB的度数．

Answer 1

分析 （1）先证出∠ACN=∠MCB，再由SAS证明△ACN≌△MCB，即可得出AN=BM；
（2）由△ACN≌△MCB得出∠ANC=∠MBC，再证出∠MBC+∠CAN=60°，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵△ACM、CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠NCB=60°，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中$\left\{\begin{array}{l}{AC=CM}&{\;}\\{∠ACN=∠MCB}&{\;}\\{CN=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；
（2）解：∵△ACN≌△MCB，
∴∠ANC=∠MBC，
∵∠ACN=180°-60°=120°，
∴∠ANC+∠CAN=60°，
∴∠MBC+∠CAN=60°，
∴∠AOB=120°．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．